Résolutions d'inéquations - Exemples

On résout les inéquations suivantes sur \(\mathbb{R}\) .

1.  \(\text e^x < \text e^9\)  
Les solutions de l'inéquation  \(\text e^x <\text e^9\)  sont les réels \(x\)  tels que  \(x < 9\) .
L'intervalle solution est \(S = ] - \infty ; 9[\) .

2.  \(\text e^x - \text e \geqslant 0\)  
On a  \(\text e^x - \text e^1 \geqslant 0 \Leftrightarrow\text e^x \geqslant \text e^1 \Leftrightarrow x \geqslant 1\) .
L'intervalle solution est \(S = [1 ; +\infty [\) . 

3.  \((\text e^x - \text e^{-2})( \text e^{12} - \text e^x ) \leqslant 0\)
On s'intéresse aux signes des deux facteurs : 
\((\text e^x - \text e^{-2}) \geqslant 0 \Leftrightarrow \text e^x \geqslant \text e^{-2} \Leftrightarrow {x} \geqslant {-2}\)  
\(\text e^{12}- \text e^x \geqslant 0 \Leftrightarrow \text e^{12} \geqslant \text e^x \Leftrightarrow {12} \geqslant {x}\)
Pour obtenir un produit négatif, il faut que les deux facteurs soient de signes contraires sur le même intervalle.
La solution est la réunion de deux intervalles \(S = ] - \infty ; -2 ] \cup [ 12 ; + \infty [\) .

4   .  \((\text e^x )^2 - \text e^x \times \text e^6 > 0\)
On peut factoriser l'inéquation :  \((\text e^x )^2 - \text e^x \times \text e^6 > 0 \Leftrightarrow \text e^x (\text e^x- \text e^6) > 0\) .
La fonction exponentielle n'étant jamais négative, le signe de l'inéquation dépend du facteur entre parenthèses. Comme  \(\text e^x- \text e^6 > 0 \Leftrightarrow \text e^x> \text e^6 \Leftrightarrow x> 6\) .
L'intervalle solution est \(S = ] 6 ; +\infty [\) .

5  .  \(\text e^{8x + 2} \geqslant \text e^{4x - 2}\)
On a  \(\text e^{8x + 2} \geqslant \text e^{4x - 2} \Leftrightarrow 8x + 2 \geqslant 4x - 2 \Leftrightarrow 4x \geqslant -4 \Leftrightarrow x \geqslant -1\)
L'intervalle solution est \(S = [-1 ; + \infty [\) .

6  .  \(\text e^{x^2} - \text e^{2x - 1} < 0\)
On a 
\(\text e^{x^2} - \text e^{2x - 1} < 0 \Leftrightarrow \text e^{x^2} < \text e^{2x - 1} \Leftrightarrow x^2< 2x - 1 \\ \Leftrightarrow x^2 - 2x + 1 < 0 \Leftrightarrow (x-1)^2 < 0\)
L'inéquation n'admet pas de solutions réelles, car le réel \((x-1)^2\)  étant un carré, il est positif ou nul.